银河官网1331这几天打算学一学滤波器的相关原理

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文章关键词:银河官网1331,随机滤波

  这几天打算学一学滤波器的相关原理,看的书籍是西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版,记录的内容为自己的学习总结,本文主要分为以下四部分:

  内容中不当的地方,还麻烦各位给以指正,内容多有参考他人,对应的链接在文章最后一并给出。

  对于一个火车,下一时刻的轨迹已经由铁轨确定了;而对于一个行人,下一刻的落脚点却有各种可能。

  简单来说,下一时刻确定的,是确定过程;不确定的,是随机过程。下一刻所有可能,组成了随机变量,即随机变量是各种可能的集合。

  信号x是一个随机分布,下一刻的值有各种可能;而信号y是一个确定过程,下一刻的值由$y = sin(t)$唯一确定。

  将随机信号x进行直方图统计,通过曲线拟合可以看到:x对应的每一时刻的值都服从正态分布,我们或许可以说:下一时刻,信号x取3的概率大于x取9的概率。由此我们可以相信:对于随机的数据,直方图统计也会包含有价值的信息,so~继续研究它。

  即对于给定时刻t,假设所有的可能都给定了,我们不需要像上一张图那样,需要对不同时刻t进行统计,而是直接对t时刻所有可能值统计,得到分布直方图。利用分布的密度函数,从而实现均值的估计。

  现实情况是:我们无法得到同一时刻的所有可能,怎么解决这个尴尬?接着往下看。

  求解同均值类似,尴尬也是。方差体现了数据围绕期望值的分散情况,真是求之不得,辗转反侧,难怪均值叫期望。

  知道均值、方差,并不能唯一确定分布(正态是可以的),还需要一些辅助特性来评定统计的分布特性:

  直接对t时刻所有可能值统计,得到分布直方图,直方图面积归一化,对应的曲线就是概率密度$f(x;t)$,$f(x;t)$关于x的积分就是分布函数$F(x;t)$。

  相关矩阵虽然体现了相关性,但协方差数值变化时大时小,因此考虑将其归一化(去均值、除均方差):

  从定义式也可以观察:此处的相关是线性相关,而不是一般意义的相关。因此即使不相关,也不过是线性不相关罢了,说的简单点:A、B两信号不相关,则A的取值变化,不对B的取值产生影响。事实上,A-B-C-D四个信号,是

  下图从左到右均为联合分布,A、B的相关系数分别为:0.9,-0.9,0,可以看到,以均值为中心,他们对应的正/负/无 线性关系。

  对于图中数据,我们不会认为:右边数据服从左边的分布,我们更倾向认为:右图前段数据服从一个分布,后段数据服从一个分布。可以理解为:该信号为非平稳,银河官网1331或者说:短时平稳。

  翻译一下上面这句线$时刻,所有可能对应集合Set0,对于$t_1$时刻,所有可能对应集合Set1,...,不同时刻的集合,其统计特性一致。

  为什么关于时间需要统计特性不变呢?因为随机变量,取任何值都不确定,只能基于大数据的统计特性进行描述,而如果该时刻或者历史时间段的统计信息,对下一时刻没有任何的借鉴意义,即:统计特性只对统计数据自身成立,统计的意义又在哪里呢?

  这也是为什么宽/弱平稳,是均值、方差的一致性,而不必三阶矩、四阶矩一致的原因之一。

  遍历性,即各态历经性,真是顾名思义。还记得上文的尴尬么?一个时刻的所有可能,现实中天知道会是什么?

  数量足够多的机器,假设10万台,性能完全一致,同时刻工作,同时刻停止,将这样一个小的时间段认为一个时间点,然后统计机器损坏的数量M,

  1)性能完全一致,这个本身就做不到;2)现实中,很难有同一时刻,样本集合几乎遍历的情况;

  能不能折中一下呢?假设一段时间内,所有可能的集合元素,都发生了(即遍历),利用时间统计特性,近似等价。嗯,用时间换空间,是个不错的主意。

  首先回顾一下:对于一个时间序列{$X_t,t = 1,2,...$},样本均值如何定义:

  其中$x_t$为时间序列$X_t$的一条路径,不妨设为某个股票的日收益率。

  即:实际应用中,用样本的时间均值,代替集合的统计均值,即对于某个时刻的所有可能,我们认为这些可能在一段时间内,会全部出现,这就是遍历性,也叫各态历经性。

  Eq-1是时间取均值,Eq-2是空间取均值。可以说,随机过程遍历性假设若不成立,应用中的统计总是管中窥豹,就像调研中的小样本,得出的结论看似严谨,实则荒谬。

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