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  条件分布函数与条件期望条件分布函数与条件期望、回归与第二类回归(,,y)在前一章中对离散型随机变量我们曾经研究了在已知发生的条件(,,,)i,,下的分布问题并称P(=x=y)为条件分布开类似的问题对连续型随机变量也存,ii在。,,因为连续型随机变量取单点值的概率为零所以用分布函数P(x)=P(x)来代,,,,替离散型时的分布列P(=a),在这里也同样以P(x=y)来代替离散型时的,i,,,,P(=x=y)并且称P(=x=y)为已知(=y)发生的条件下的条件分布函数,,,iiii并记作F(xy)。,,现在的问题是如果已知的联合分布函数F(x,y)或它的密度函数p(x,y)如(,,,)何来条件分布函数F(xy)。由条件概率的定义读者会想到应该有,,P,(,x,,,y),P(xy)=P(x=y)=,,,P(,,y),,但是因为对连续型随机变量来说P(x,=y)=,P(=y)=上述等式中的右端是,也就是数学分布中的“不定式”这并没有解决问题。dy在数学分析中已知也是的不定式为解决这个矛盾先考虑有限增量时的比dx,y值然后再令并定义,x,,x,ydylim=,x,,xdx由此得到启发我们采取同样的思想途径定义,P(xy)=P(x=y),,,limP(,,xy,,,y,y)=,x,F(x,y,y),F(x,y)lim=(),y,F(,,y,y),F(,,y)因为是连续型随机变量若其密度函数为p(x,y)则上式可以写成(,,,),P(xy)=P(x=y),,,xyy,p(u,v)dudv,,,,ylim,y,y=,y,p(u,v)dudv,,,,yxyy,p(u,v)dudv,,,,ylimy,y=(),y,p(v)dv,,y若太是连续函数又则有xp(u,y)du,,,P(xy)=,,p(y),xp(u,y)du=(),,,,p(y)显然这时P(xy)关于x的导数存在且有,,p(x,y)P(xy)=F(xy)=(),,,,p(y),,我们称P(xy)为在已知发生的条件下的条件概率密度。银河1331入口完全类似地可以定义F(xy),,,,及P(yx)读者还可以比较一下条件概率密度与离散型时的条件分布列:,,p,(,x,,,y)iiP(xy)=,,,,,,iip(,,y)i它们之间是多么的相似!例(略),条件分布函数F(yx)或条件密度函数P(yx)描写了随机变量在已知,,,,(=y)发生的条件下的统计规律同样离散型情形一样还可以求在(=y)发生的条件下的,,数学期望也就是条件数学期望于是有下述定义。,定义如果随机变量在已知(=y)发生的条件下的条件密度函数为P(y,,,x)若,xp(xy)dx,,,,,,,则称,xp(xy)dx,,E()=(),,,y,,,,,,在(=y)发生的条件下的数学期望或简称为条件期望。为,同离散型情形相同连续型随机变量的条件期望也具有下述性质:,()若ab则aE()b,,,y,,,y()若是、两个常数又E()(i=,)存在则有kkiE()=E()E()k,,,,yk,,,y,,,yk,进一步还可以把E()看成是的函数当时这个函数取值为E(),,,y,,,y记这个函数为E()它是一个随机变量可以对它求数学期望仍与离散型相同,,有,()E(E)=E。{,,}条件数学期望在近代概率论中有着基本重要的作用在实际问题中也有很大用处。在,,,两个互有影响的随机变量、中如果已知其中一个随机变量的取值=y要据此去估计或预测另一个随机变量的取值这样的问题在实际应用中经常会碰到。人们称它为“预测,问题”。由上述讨论可知条件数学期望E()是在已知(=y)发生的条件下对,,,y,的一个颇为“合理”的预测。例(略)一般认为人的身高和脚印长可当作一个二维正态分布变量来处理。下面我们给出脚印长的估计式:,,E()=,,,ya(y,a),,,如果把画在平面的直角坐标系中它是一条直线这条直线在一定(a(y,a),y),,,程度上描写了身高依赖于的关系常常称为是回归直线。银河1331入口在一般情形下由E(y)(),,,y或{xE()}(),,,x可以得到平面上的两条曲线它们称为是回归曲线或简称为回归,前面曾经指出把E()作为在已知(=y)发生的条件下对的估计或预测在,,,y,直觉上是“合理”的究竟它合理在什么地方,这个估计或预测具有那些“优良”的性质值得引起人们的注意呢,这是下面要进一步研究的问题。我们已经知道E()是的函数现在不妨假定有别的的函数g()可以作为对,,,,,,的估计或预测我们当然要求这种估计或预测的误差要尽可能地小但,,g(,)是随机变量一般就要求它的平均值,,g(,)E=min,,g(,)但是绝对运算在数学上处理并不方便回忆在数学分析中提到过的最小的二乘方法以及第二章中关于方差的讨论读者能够想到可以要求=minE,,g(,)如果的密度函数为p(x,y)就有(,,,),,E=,,g(,)x,g(y)p(x,y)dxdy,,,,,,,,=p(y)(x,g(y)p(xy)dx)dy,,,,,,,,,由方差的性质()当g(y)=E()时能使,,,x,g(y)p(xy)dx)(,E{,,g(y),,y}),,,,,达到最小从而当g(y)=E()时也使E到最小。所以在已知(=y)发生,,,,g(,),,的条件下用E()作为对的估计或预测是最佳的这时均方差E{=y},,,,g(,),达到最小这里证明的是连续型的情形对离散型也可以类似地证明这个结论。,,现在我们已经知道用E()作为对进行估计或预测具有很有的性质。在的任意,,函数中它的平均方差为最小但是在某些场合譬如密度函数p(x,y)为未知或者E(),,过分复杂等原因这时可以降低一些要求寻找另外的估计这当中一个常用的估计是只要,,,求所得到的估计在的线性函数类L()=ab中能使均方差达到最小也就是要确定a与b常数使,(a,b)=E=min,,(a,b)为此只要令,,(a,b),,,,,E(,(ab)),,,a,,,(a,b),,E,(ab),,,,b,上述方程组等价于,,aEbE,,,()aE,bE,E,,,,解此方程组可以求得,,,(,)Cov,,a,,,,,,,(),,bE,aE,E,,E,,,,,,,,,通常称上式为线性回归或第二类回归并称()或给出的一般情况的回归为第一类回归。第二娄回归的性质比第一类回归要差一些但是在求第二类回归时不必知道联合密度函数,,而只要求知道、的期望、方差与协方差就够了而且第二类回归得到的总是一个线性函数因而第二类回归有便于应用的优点。还有一点应该指出的是对于用得最广泛的正态分布来说可以从例知道两类回归恰好是一致的。这一事实表明就正态分布而言最佳线性估计就是最佳估计。当然这里“最佳”的意思是指均方差最小由()式还可得到最佳线性估计的均方误差为,E=E,,L(,),,E,,,(,,E,),,,,,,,(,,)=,,这个均方误差常常称为剩余方差。由上式可知当与间的相关系数=时剩余方,,,,差为零。这时可以用()式来准确估计也就是说与之间存在着线性关系。于是我们又一次证明了相关系数是随机变量间线性相依程度的反映。

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